Вычислительная механика Кенес Бажкенович Джакупов

У нас вы можете скачать книгу Вычислительная механика Кенес Бажкенович Джакупов в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Им соответствуют нормы Лемма-А. В скалярном произведении с учетом совершается дополнение до полного квадрата C C C C. По неравенству Коши выводится аналогичное неравенство В результате тождество переходит в энергетическое неравенство Потребуем выполнения известных неравенств использованных ранее в максимум-норме С. Тогда в левой части второй и третий члены становятся неотрицательными числами и отбрасывая их только усилим данное неравенство Далее производится оценка На основании очевидного неравенства Сходимость консервативной схемы здесь доказана методом энергетических неравенств.

Ранее устойчивость и сходимость таких схем была исследована в сеточной максимум-норме С. Консервативные схемы немонотонны сходятся и устойчивы при выполнении ограничения на шаги пространственной сетки эти же условия являются условиями устойчивос ти метода трехточечной прогонки поэтому консервативные схемы неэффективны. Каким свойством обладают консервативные схемы?. Для аппроксимаций -го порядка точности граничных условий фон Неймана 4 4 написать формулы трехточечных прогонок; то же самое выполнить для формул пятиточечной прогонки.

Доказать в схема Дюфорта-Френкеля выполнение неравенства. Постановка задачи Рассматривается задача Коши-Дирихле для двумерного параболического уравнения o. Явные монотонные схемы Явная монотонная схема-го порядка аппроксимации конв- ективных членов. Через разностные операторы записывается в виде.

Конструкция такой схемы данная Джакуповым К. Для погрешности обеих схем получается задача Преобразуем ее к виду 6 По лемме-4б должно быть выполнено условие Условие устойчивости этой схемы принимает наиболее простой вид на равномерной сетке: Монотонная неявная схема имеет вид Погрешность аппроксимации -го порядка по времени и равна O O O O O O O Абсолютно устойчива сходимость доказывается с помощью леммы -4б.

В схеме типа Кранка-Николсона и неявной схеме вычисляется либо матричной прогонкой либо итерациями можно методом простой итерации Якоби. Схема альтернативных направлений с граничными условиями Кряквиной-Дьяконова Точность схемы Письмана-Ракфорда и Дугласа по времени - го порядка.

Именно поэтому логично требо- вать выполнение данного равенства и в граничных узлах: Исключение производится следующими действиями. Система приводится к следующему виду Уравнение умножается слева на. Получается схема в целых шагах Выражение преобразуется к виду 4 Из разложений в ряды Тейлора 8 O 8 O следуют O O 4 В силу 4 погрешность аппроксимации схемы равна O O O следовательно имеет более высокий порядок точности.

Записав аналогичное уравнение для возму- щения схемы умножим его на обратный оператор. Операторы составлены из постоянных коэффициентов поэтому возможна их перестановка в По лемме-5б нормы операторов не превосходят: Взяв по норме от обеих частей 6 воспользуемся данной оценкой откуда вытекает Таким образом доказана абсолютная устойчивость схемы переменных направлений потому как имеют место неравенства Схема альтернативных направлений типа Самарского А.

Применяя обозначения 4 напишем схему переменных направлений двумерного уравнения диффузии следуя конструкции Самарского А. Получается C C Подействуем слева обратным оператором. C C По лемме-4а. Начальная погрешность схемы равна нулю: Дьяконова из 7 вытекает правильное граничное условие.

Трехточечными прогонками по направлению вычисляются с использованием граничного условия 9 аналогично трехточечными прогонками по направлению вычисляются с использованием граничного условия. В трехмерной задаче o 4 на равномерной сетке используются операторы и схема Дугласа-Ракфорда имеет конструкцию 9.

Трехточечными прогонками по направлению вычисляются с. Схема Дугласа-Ракфорда абсолютно устойчива. Метод факторизации Марчука-Яненко Идея метода излагается на следующих примерах. Введем обобщенные одномерные разностные операторы. Пусть имеет место неявная схема C C C C эквивалентная следующей схеме C C C C 5 В методе факторизации суммарный оператор заменяется приближенно на произведение одномерных операторов 5 Очевидно погрешность такой замены порядка O.

В 5 суммарный оператор заменяется на 5 в результате получается схема с факторизованным оператором в левой части C C C C 54 которая легко реализуется. Вводится промежуточная величина C C C 55 Подставляется в Далее применяются леммы в норме С доказанные Джакуповым К. Если линейные операторы отображающие прос - транство Н в пространство Н По определению нормы линейного оператора H Обозначив перепишем в виде. Тогда 74 запишется в виде суммы.

Если в случае D выполняется также неравенство D то при таком сочетании 75 выполняется из-за 76 тем самым выполняется 7 то есть лемма-6а справедлива. Пусть теперь в первом случае имеет место противоположное: Во втором случае D доказательство проводится аналогично тем самым завершается полное доказательство леммы.

Если линейные операторы отображающие пространство Н в пространство Н Несложное доказательсто леммы-6б вытекает из теории мат- риц. Эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранг след и определители. Обозначим как и ранее. Доказательство леммы-6б следует из Следовательно схема Дугласа-Ракфорда 47 абсолютно устойчива.

В обшем случае неперестановочных операторов необходимо воспользоваться леммой-6б: Проблема определения граничных значений промежуточных величин Для численного решения уравнений типа o 8 8 по схеме расщепления с весами. Граничные условия типа здесь нельзя применять потому как по теории Дьяконова Е. Для краевого условия фон Неймана граничного условия проблема постановки становится еще более неразрешимой даже при не только в данной схеме с весами но и в других схемах метода переменных направлений.

Граничные значения другой промежуточной величины 4. Монотонные однородные схемы порядка аппроксимации конвективных членов в уравнениях с постоянным коэффициентом молекулярного переноса Для построения монотонных однородных схем порядка ап- проксимации конвективных членов в многомерных уравнениях вязкой жидкости используется методика Джакупова К.

Для двумерного уравнения параболического типа монотонная явная схема имеет вид где коэффициенты при диссипативных членах равны Q. Для трехмерного уравнения параболического типа монотонная однородная явная схема имеет вид.

Монотонные однородные схемы порядка аппроксимации конвективных членов в уравнениях с переменным коэффициентом молекулярного переноса Методика Джакупова К. Рассмотрим одномерное уравнение с переменным коэффици- ентом молекулярного переноса: Для дифференцируемой функции зто уравнение можно преобразовать к виду и построить для него монотонную схему. В случае разрывного не дифференцируемого коэффициента очевидно данное преобразование неприемлемо.

Здесь технология построе- ния монотонных схем -го порядка аппроксимации конвективных членов применяется к эквивалентному уравнению где обозначено через минимальное значение функции o. Для двумерного уравнения параболического типа монотонные схемы аналогичны по конструкции: Эффективная реализация неявных схем методом Якоби Проблемы постановки граничных условий для промежуточ- ных сеточных функций типа и т.

С этой точки зрения экономичным является применение абсолютно устойчивых неявных схем типа. Сгруппируем в 4 коэффициенты при l l l l l: Используя лемму-4а доказать сходимость схемы Яненко.. Вычислить погрешность аппроксимации схемы Писмана-Ракфорда.. Вычислить погрешность аппроксимации схемы Дугласа-Ракфорда. Вычислить погрешность аппроксимации схемы Яненко.

Доказать в сеточной норме С абсолютную устойчивость монотонных неявных схем типа изложенных в. Стационарные уравнения Гельмгольца В стационарных течениях вязкой несжимаемой жидкости урав- нения Гельмгольца принадлежат эллиптическому типу ставятся краевые условия на: Уравнения потенциала скорости Безвихревые течения идеальной жидкости называются потенц- иальными течениями.

Через потенциал скорости компоненты скорости определяются так. Потенциальные течения суть безвихревые течения потому как rogr ro следовательно и уравнение для функции тока тоже будет эллиптического типа с краевым условием Дирихле на: Уравнения гидродинамического давления В течениях несжимаемой жидкости комбинация уравнений динамики с уравнением неразрывности дает для давления уравнение эллиптического типа.

Уравнения потенциала электростатического поля По теореме Гаусса для вектора напряженности электричес- кого поля получается уравнение: Потециал электрического поля связан с вектором напряжен- ности формулой gr или в декартовых проекциях Подстановка дает уравнение эллиптического типа gr что в декартовой системе имеет вид для которого могут иметь место краевые условия типа фон Неймана или Дирихле. Метод простой итерации Якоби В двумерной задаче уравнение аппроксимируется схемой Метод Якоби используется так: На основании этого критерием прекращения итерационного процесса является такой номер выполняется неравенство R 57 при котором Это основной критерий сходимости итераций.

Последнее берется в качестве решения системы: Метод Якоби сходящийся метод. Установилось мнение что вместо 4 надо пользоваться следующим критерием сходимости итераций o o o 5 Проведем согласование этого критерия с основным критерием 4. С этой целью приведем к форме Сравнивая с находим что невязку можно вычислять по следующей формуле R 7 Из 7 получается связь между критериями 4 и 5: В схемах с граничным условием фон Неймана здесь означает нормальное перпендикулярное к границе направление.

Тогда оно может быть аппроксимировано в виде Невязка на границе равна. Метод Либмана-Зейделя В этом методе при определении сразу же используются уже вычисленные значения для конструкции: Из вычисляется последующее приближение к решению Можно по другому алгоритму но используя: Итерации прекращаются при выполнении критерия 4 Сходимость итерационного процесса Основные принципы доказательства сходимости итерационных алгоритмов приведем на примере метода простой итерации для системы разностных уравнений 6 записанной в операторах: Вводится сеточная функция погрешности итераций Подставляя в найдем.

Из вытекает Беря по модулю от обеих частей этого выражения и имея в виду положительность коэффициентов выводим неравенства откуда получается Сокращая множители и имея в виду что данное неравенство имеет место и для максимума модуля В результате пришли к следующему результату l l откуда вытекает выполнение в пределе равенства l.

Аналогичным образом доказывается сходимость метода Либмана-Зейделя Итерационный метод Письмана-Ракфорда В своем итерационном алгоритме Письман и Ракфорд в г Яненко методом стабилизирующей поправки Дуглас и Ракфорд изначально поставили граничные условия которые подтверждаются теорией Дьяконова.

Здесь также итерационный параметр выбираемый зачастую экспериментально из соображений уменьшения числа итераций. Для решения трехмерных задач схема Дугласа-Ракфорда имеет конструкцию По методу Дьяконова ставятся граничные условия o o.

Метод верхней релаксации Метод состоит из двух этапов. Первый этап совпадает с методом Либмана-Зейделя: Здесь - параметр итерации нижняя релаксация верхняя релаксация. Подставляя 6 в 7 имеем итерационный алгоритм При Параметр выбирается из интервала 8 очевидно 8 переходит в метод Либмана-Зейделя.

Параметрический итерационный процесс Для примера рассмотрим трехмерное уравнение Во -ом варианте если имеет место краевое условие типа фон Неймана параметрический итерационный процесс применяется по аналогу с методом Якоби: Данный алгоритм является сходящимся итерационным процессом. Для трехмерного уравнения теплопроводности параметрический итерационный процесс выглядит так: Для краевых условий типа фон Неймана например на гранях параллелепипеда и итерации находятся по алгоритмам Здесь формулы написаны для равных приграничных шагов.

Написать для системы 8 метод Либмана-Зейделя.. Написать параметрический метод в индексном виде.. Доказать сходимость параметрического итерационного процесса. Применить метод верхней релаксации для трехмерного уравнения. Написать аппроксимации краевых условий фон Неймана на неравномерной сетке. Уравнения возмущений плотности скорости и давления в одномерных течениях идеального газа Пусть идеальный газ до момента времени находится в состоянии покоя с параметрами o o.

В момент времени в газ вносятся малые возмущения скорости плотности и давления соответственно. Уравнения акустики Одномерные уравнения Эйлера R. В результате уравнения динамики получают форму л л Исключением из данной системы скорости получается уравнение гиперболического типа для плотности л л л l Исключением из системы плотности получается гиперболическое уравнение для скорости л л л l.

Уравнения электродинамики Из системы уравнений Максвелла: Например для напряженности электрического поля получается уравнение gr. Критерий Куранта Рассмотрим начально-краевую задачу для одномерного гиперболического уравнения o На равномерной сетке явная схема имеет индексный вид Погрешность аппроксимации равна O O Проведем исследование устойчивости методом фон Неймана e Подставим в имея в виду что в выражении стоит коэффициент р а - показатель степени: Из данного неравенства вытекает.

По этой причине из 7 получается условие устойчивости явной схемы по методу фон Неймана в виде неравенства. Выражение C называется критерием Куранта.

Для устойчивости явной схемы критерий Куранта не должен превосходить единицы. Неявная схема Неявная схема имеет вид Полуявные схемы уравнений теории упругости Для численного решения введением дополнительной функции р уравнение теории упругости преобразуется к виду gr o Данная система подобна системе уравнений динамики вязкой жидкости теория численных методов решения которых подроб- но изложена Джакуповым К.

Идея явной схемы уравнений теории упругости излагается в двумерной задаче. Схема o o С целью экономичной записи схемы делаются переобозначения. Ради краткости в и обозначаются. С этой целью 8 и 9 подставляются в. В результате для получается замкнутая система разностных уравнений где число неизвестных равно числу уравнений. Конструирование уравнений состоит из нескольких этапов.

Подстановка 8 и 9 в во внутренних узлах с номерами: Подстановка 8 и 9 в во внутренних узлах с номерами ;. В этих узлах уравнение имеет вид где.

Подставляя сюда 8 и 9 найдем: Подстановка 8 и 9 в во внутренних узлах с номерами ; в которых имеет вид где. Использовав уравнение в граничных узлах с индексами ; получаем замкнутую систему для поля. Согласно сказанному запишем в граничных узлах: Однако данное выра- жение точнее записывается через производную: Отсюда получается граничное условие для р: Еще раз используем в граничных узлах: Данное выражение также записывается точнее через производную: Пусть вместо используется схема с разностями вперед: Q Q ; Применяя по аналогии с о о о 4 о 5 о 6 о получаем для сеточной функции р замкнутую систему уравнений: Метод Якоби для системы 45 имеет вид:.

R Последняя итерация берется в качестве решения системы Глобальные итерационные алгоритмы Алгоритм. На основании сказанного итерации прекращаются на таком номере при котором выполняется основной критерий сходимости итераций: R что может быть использовано в эквивалентном виде При выполнении 4 критерия 4 последние приближения берутся в качестве решения системы: Алгоритм В коэффициенты при обозначим так: С их помощью глобальный алгоритм запишется кратко: Разработанные выше глобальные итерационные алгоритмы автоматически используются на равномерной сетке достаточно положить.

Решение трехмерных задач теории упругости на равномерной сетке Для трехмерных уравнений. Процесс вычислений останавливается на таком номере итераций при котором выполняется следуюшее неравенство для невязки R При выполнении данного критерия последние приближения берутся в качестве решения Замечание.

Данные численные алгоритмы можно применять в качестве метода установления при решении задач упругого равновесия. Численный алгоритм решения гиперболических уравнений электродинамики Привлекаются уравнения Максвелла: Несмотря на переопределенность уравнения -7 используются при расчетах электромагнитных полей. Если в рассчитываемой области имеются сторонние заряды то они имеют ненулевую плотность и эту плотность можно вычислить наряду с используя следующий подход.

Система двух уравнений 4 5 является замкнутой системой относительно двух функций и подобна уравнениям гидродинамики по- этому она может быть решена численно конечно-разностными методами если для этих уравнений поставлена соответствую- щая начально-краевая задача. При аппроксимации уравнения неразрывности используется принцип взаимосогласованноти аппроксимаций и в 6 7 основным моментом этого принципа является также то что если в каком-либо узле сетка вычисляется то в этом узле обязательно должна быть взаимосогласованная аппроксимация уравнения неразрывности с использованием которой вычисляется.

В аппроксимированы центральной разностью поэтому. Вообще говоря согласно данному принципу если аппроксимировано разностью назад вперед то должно быть аппроксимировано разностью вперед назад.

Поэтому во внутренних узлах 7 заменяется разностной схемой: Схема имеет погрешность O схема - O. В простом способе аппроксимация нормальных к грани парал- лелепипеда производных делается с -м порядком погрешности. Алгоритм реализации схем Обозначив в известные величины Q 7 представим 7 в виде Q 8. С этой целью исключим путем подстановки 8 9 в Ключевую идею указанных подстановок покажем для одного направления для двух других все аналогично.

Поэтому 8 подставляется в при отдельно затем в и 4. Последовательное осуществление этих четырех этапов дает следующую систему относительно. Q Q ; подстановка в: Q 6 ; подстановка в 4: Итерационные процессы вычисления Считая что аналогичная 4 8 подстановки совершены для компонентов и тем самым получены разно- стные уравнения идентичные относительно остановимся здесь на двух простейших итерационных.

Алгоритм Используется запись 9: Итерации ведутся до выполнения уравнений неразрывности с удовлетворительной точностью. Алгорттм Этот метод является упрощением первого метода стоит только заменить стоящие в скобках на то есть яв- ляется явным итерационным методом а значит условно сходящимся.

Он удобен для программирования по сравнению с Идея заключается в совместном итерировании уравнений 8 9 и 5 6. В качестве после выполнения условия 55 берутся:. Полуявная схема при аппроксимациях типа имеет -й порядок точности по всем переменным.

В качестве условия устойчивости схемы можно принять известное условие Куранта:. Методом фон Неймана исследовать устойчивость неявной схемы.. Написать явную схему теории упругости для аппроксимации. Написать итерационный метод Якоби для схемы пункта 4. Постановка задачи продольного обтекания пластины Для расчета двумерного продольного обтекания пластины используется система уравнений предложенная Джакуповым К. В начальный момент времени жидкость находится в состоянии покоя: H l L в некоторый момент времени на течение полученное на этот момент времени численным методом накладывается случайное возмущение то есть в узлах сетки в этот момент полагаются Dg Re r 6 Dg Re r 7 8 В аналогичную безразмерную форму переходят и уравнения для возмущений пульсаций 9: Начально-краевая задача для 6- решается теоретически обоснованными разностными методами Джакупов К.

Технология построения разностных схем уравнений динамики вязкой жидкости на одной сетке. Используются обозначения сеточных функций: Схема полуявная по времени в силу того что давление и уравнение неразрывности взяты на верхнем слое времени: Начальные условия задаются на сетке L H ; 9 Аналогичная схема для пульсационных уравнений имеет вид: Алгоритм реализации полуявной схемы Алгоритм реализации схемы -9 значительно упрощается если ввести обозначения алгебраических сумм конвективных и диссипативных членов в: По этому принципу поле давления определяется из требования чтобы для стоящих в 9 и 4 выполнялось уравнение нераз- рывности 4.

С этой целью 94 подставляются в 4 в результате получается замкнутая система разностных уравнений для давления. Подстановка 9 и 4 в 4 в узлах с индексами ;. В этих узлах уравнение 4 имеет вид: Аналогичная подстановка 9 и 4 в 4 осуществляется в узлах с индексами ; где 4 имеет вид 44 здесь по граничному условию задано. Подстановка 9 и4 в 4 в угловом узле с индексами ; ; где 4 имеет вид приводит к выражению:. Для замыкания этой системы привлекается уравнение неразрывности 4 в граничных узлах с индексами:.

В граничных узлах уравнение неразрывности 4 имеет вид 47 где по граничным условиям читаются известными следовательно только 9 подставляется вместо.

В результате получается краевое условие для давления на правой границе прямоугольника 48 6 о. В граничных узлах уравнение неразрыв- ности 4 имеет вид где по граничным условиям читаются известными В результате получается краевое условие на верхней границе 49 Разностные уравнения 48 и 49 являются естественными граничными условиями для давления.

Система является замкнутой системой которая решается итерационным методом для применения которого удобно записать уравнения в виде одной формулы используя функцию сигнатуры g: Уравнения для получаются аналогичным пособом:. Методы глобальных итераций системы линейных алгебраических уравнений можно найти модифицированным итерационным методом с параметром. Для упрощения изложения алгоритма верхний индекс " " у опускается: Для сходящегося 58 на каждом слое времени равно значению давления на предыдущем слое времени: Итерационный алгоритм для граничного условия В 6 собираются коэффициенты при в виде g.

Очевидно уравнения 4 и 5 эквивалентны друг другу в силу представлений 9 и 4 то есть уравнение 5 тоже есть уравнение неразрывности только записанное иначе. Данное обстоятельство позволяет значительно упростить процедуру итерационного алгоритма для вычисления. Исходя из этого удобно ввести сеточные функции при этом являются итерациями соответственно по аналогии с Метод глобальных итераций для схемы Группируются коэффициенты при:.

Глобальные итерации для схемы по методу минимимальных невязок Красносельского - Крейна При вычислении поля давления быструю сходимость итераций обеспечивает метод Красносельского Крейна.

Преимущество этого метода перед модифицированным методом заключается в том что нет необходимости в коэффициентах. В областях со сложной геометрией определение является трудоемким процессом что подтверждается присутствием в них выражений g.

В методе Красносельского Крейна решение системы линейных алгебраических уравнений b По аналогии с направлениями введем узлы по оси: Обобщение изложенных итерационных алгоритмов на трехмерные задачи в цилиндрических сферческих и др. Задание начальных условий 5 в цикле по. Программирование итерационного алгоритма Засылка насчитанных полей. В чем заключается отличие полуявной схемы от неявной?. Написать схему без аппроксимационной вязкости типа Написать для схемы систему разностных уравнений.

Для полученной системы написать итерационный алгоритм с параметром. Применить метод верхней релаксации. Постановка задачи Имеется заполненный вязкой несжимаемой жидкостью прямоугольный зазор с основанием длиной l и высотой Н боковые В международной системе единиц измерения указанные величины имеют следующие размерности: V Для данной задачи о течении жидкости в зазоре начальные и граничные условия для уравнений ставятся следующим образом: Тогда в силу сказанного имеют место: Безразмерные переменные вводятся следующим образом.

Подстановкой в 4 исключается р. Re 4 Через вихрь скорости 5 уравнение 4 записывается в форме Гельмгольца: Re 6 Начальные и граничные условия для и выводятся из условий 4. Из-за наличия в системе 56 только пространственных производных от функция тока определяется с точностью до произвольной функции от времени которой распоряжаются следующим образом. Фиксируется произвольное значение в какой-либо точке области течения. Учитывая что из условий на горизонтальных стен-. Второе граничное условие для получается из условий 8 9.

Сетку по времени возьмем с шагом Явная конечно-разностная схема Джакупова К. По формулам Кусковой Т. Ради удобства обозначается через. На стенках итерационный параметр. Из 4 имеем следующую вычислительную формулу: Для следующего шага по времени весь процесс вычислений повторяется начиная с кончая 4.

Для получения физической картины течения вязкой жидкости в зазоре в сеточной области нужно построить изолинии функции тока вихря скорости то есть вывести сплошными линиями те точки в которых эти функции имеют одинаковые значения. Итерационный алгоритм Определив функцию тока по алгоритму 4 легко организовать схему переменных направлений специфического вида: При стационарных краевых условиях схема 4 44 может служить в качестве итерационного алгоритма для нахождения решения стационарных уравнений Гельмгольца.

Применить метод последовательной верхней релаксации для вычисления. Написать условие устойчивости явной схемы для аппроксимации Булеева- Петрищева. Учтена также вязкость жидкости поскольку входит коэффициент кинематической вязкости. Эти уравнения при соответствующих физической постановке задачи начальных и граничных условиях могут быть решены по схемам технология построения которых приведена в модуле-.

Допустим что на сетке имеют место граничные условия для скоростей типа ледущих:. Из данного уравнения неразрывности вычисляется компонента скорости при необходимости производные в них заменяются на разностные соотношения.

Процесс вычислений останавливается на таком номере итераций при котором выполняется следуюшее неравенство для невязки R При выполнении данного критерия последние приближения берутся в качестве решения Коррекция модели Форцгеймера. Разностная схема Локальное ускорение заменяется на индивидуальное и учитывается закон трения Ньютона. В результате получается система уравнений идентичная уравнениям Навье вязкой несжимаемой жидкости: Поэтому для получения готового алгоритма для численного решения системы в схеме достаточно положить: Коррекция модели Нумерова фильтрации в насыщенных пористых средах Нумеров С.

Коррекция модели Нумерова заключается в использовании закона трения Ньютона: Применить метод последовательной верхней релаксации. Во многих работах для вычисления плотности газа используется уравнение неразрывности причем в расщепленном виде. Как показывает практика вычислений алгоритмы такого типа приводят к осцилляциям решения к отрицательным и нулевым значениям плотности газа что противоречит сущности плотнос- От- личительной чертой данного подхода является то что уравнение неразрывности не расщепляется а служит для получения замк- нутой системы разностных уравнений для давления см.

Систему -5 перепишем в новых обозначениях. При этом соблюдается принцип взаимосогласованной аппрокси- мации градиентов давления и уравнения неразрывности; гради- ент давления и компоненты скорости в уравнении неразрывнос-.

В силу граничных условий 7 и 8 в 4 5 при и имеет место равенство 7 При а 5 при в силу условий 8 рассматривается с использованием аппрокси- мации граничного условия: В частности схема - 8 реализуется в следующем порядке.

Во внутренних узлах которым соответствуют индексы система получается в виде: Q R в граничных узлах которым соответствуют индексы: Уравнения а также 8 являются разностными граничными условиями для давления.

Система 8 - является замкнутой.. Решение уравнений для давления методом глобальных итераций Применяется модифицированный итерационный метод с пара- метром.

В этом случае в принципе можно не проводить под- робную запись и весь процесс итерирования мож- но записать в экономичном виде: По вычисленным следуюшая итерация нахо- дится по явному алгоритму Q R R.

Написать в индексном виде схему. Механика жидкости и газа. Простые разностные схемы для уравнений гидроаэро-термодинамики. Алматы изд-во КазНУ им. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Лабораторный практикум по вычислительной гидродинамике. Метод дробных шагов решения многомерных уравнений математической физики.

Том 8 7 Новосибирск Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды. Теория сплайн-функций и ее приложения. Численное моделирование аэродинамики и теплообмена в топочных и технологических устройствах. Справочник по математике для научных работников. О необходимости учета сил инерции в основных уравнениях теории фильтрации. Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования.

Численные методы в прогнозе погоды. За выступом образуется вихрь который о временем сносится потоком трансформируется. Поля пульсационного вектора скосрости при продольном обтекании пластины в различные моменты времени. Передняя плотина стоит перпендикулярно две плотины за ней направлены под углом к направлению потока. Верхняя картина поля скорости соответствует моменту времени нижняя - времени. Автор 5 монографий 9 учебных пособий и около работ в области механики жидкости и газа и вычислительной математики.

Профессор механики доктор физико-математических наук. Вопросы на экзамен по курсу Вычислительные методы линейной алгебры 2-й курс, 3-й семестр Лектор: Численный анализ Тема 1. Московский государственный технический университет им.

Курсовая работа по дисциплине: АК Ягубов Роман Борисович. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором па факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначается для ознакомления с началами. Использование ЭВМ в различных областях науки и техники и управления народным хозяйством вызывают необходимость.

Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu.

Комплект оценочных средств контролирующих материалов по дисциплине Приложение А Прямые методы решения СЛАУ. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями. Хакимзянов 5 6 семестры 1. Математические модели и вычислительный эксперимент. Классификация уравнений математической физики. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач.

К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты. Алгоритмы расщепления при решении многомерных задач В. Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.

Григорьев 3-й семестр 1. Алгебраические методы интерполирования 1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа. Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых и начально-краевых задач математической физики получаются СЛАУ матрицы которых обладают следующими.

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы.

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального. Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов.

Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных.

УДК Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных. Дифференциальные уравнения высшего порядка.

Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:.

Цели и задачи учебной дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа. Уравнения и системы уравнений делятся на: В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ , в которых неизвестная. Численные методы математической физики.

Книга является учебным пособием по численным методам решения задач математической физики, предназначенным. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос для дискуссии по Введению -Назовите виды погрешности. I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент.

Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой.

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,.

Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту.

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального. Игнатьев Михаил Юрьевич Саратов, Уравнения в частных производных Решение одномерного уравнения теплопроводности с постоянными. Попов Методы оптимальных решений Пособие для студентов экономических специальностей вузов Ростов-на-Дону 01 1 Введение В прикладной математике имеется несколько направления, нацеленных в первую очередь.

Московский государственный институт радиотехники,. Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием. Цель и задачи дисциплины модуля Целью освоения дисциплины модуля является: Цели и задачи дисциплины. Основные действия с матрицами и их свойства.

Обратная матрица и ее свойства. Программа курса Вычислительные методы линейной алгебры Есть, также, Вопросы к экзамену 2-й курс, 3-й семестр Лектор: Численный анализ Курс лекций Введение. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F - обыкновенное зависимость только от Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой.

Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:. Краевые задачи теплопроводности теория. Постановка краевой задачи несвязанной теплопроводности В каждой элементарной единице объема. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1.

Лабораторная работа 7 часа Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Цель работы: Начинать показ со страницы:. Артём Тышкевич 1 лет назад Просмотров: Численные методы решения задачи Коши Глава 4. Вопросы на экзамен по курсу. Вычислительные методы линейной алгебры. Сорокин Вопросы на экзамен по курсу Вычислительные методы линейной алгебры 2-й курс, 3-й семестр Лектор: Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором па факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, и предназначается для ознакомления с началами Подробнее.

Использование ЭВМ в различных областях науки и техники и управления народным хозяйством вызывают необходимость Подробнее. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu Подробнее.

Комплект оценочных средств контролирующих материалов по дисциплине Приложение А. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного Подробнее. Рассматривается задача Коши Подробнее. Все поля Автор Заглавие Содержание. Или введите идентификатор документа: Справка о расширенном поиске. Поиск по определенным полям Чтобы сузить результаты поисковой выдачи, можно уточнить запрос, указав поля, по которым производить поиск.

Список полей представлен выше. По умолчанию используется оператор AND. Оператор AND означает, что документ должен соответствовать всем элементам в группе: При написании запроса можно указывать способ, по которому фраза будет искаться.

По-умолчанию, поиск производится с учетом морфологии. Для поиска без морфологии, перед словами в фразе достаточно поставить знак "доллар": Для включения в результаты поиска синонимов слова нужно поставить решётку " " перед словом или перед выражением в скобках.

В применении к одному слову для него будет найдено до трёх синонимов. В применении к выражению в скобках к каждому слову будет добавлен синоним, если он был найден.

© Крушина - дерево хрупкое Валентин Сафонов 2018. Powered by WordPress