Табличные методы в логике О. А. Антонова

У нас вы можете скачать книгу Табличные методы в логике О. А. Антонова в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Обо всём этом и не только в книге Табличные методы в логике О. Предложений от участников по этой книге пока нет. Хотите обменяться, взять почитать или подарить? Для регистрации на BookMix. Главная Образование и наука Философия Табличные методы в логике Купить по лучшей цене: Подробнее об акции [x].

Я читал эту книгу. Рецензии Отзывы Цитаты Где купить. Зарегистрируйтесь, чтобы получать персональные рекомендации. Антонова можно приобрести или скачать: Заметка в блоге Похвастушек пост Весна - это, как выяснилось, весьма напряженное время, и порой даже фотокамеру в руки взять Эйне 2 дня 9 часов 53 минуты назад. Оптимальное необходимое и достаточное для достижения цели работы ограничение исследуемого материала, то есть рассмотрение табличного метода доказательства в его наиболее существенных параметрах, с концентрацией внимания на интересующих нас ключевых моментах эффективного алгоритма поиска вывода.

При этом за рамками работы остается. Фокусирование внимания на проблемах, связанных с усовершенствованием и автоматизацией процесса вывода, а также рассмотрение этих ключевых вопросов не только в историко-логическом, но и в общефилософском плане. Табличный метод доказательства представляет собой формальную процедуру доказательства, генетически связанную с предыдущими способами доказательства аксиоматический, натуральный, секвенциальный. Начальный этап развития теории табличного метода доказательства — семантический этап, который составляют семантические таблицы Бета и модели Хинтикки.

Достижение технической простоты и эвристичности табличного метода было целью следующего — аналитического — этапа в развитии табличного метода. Так же как и на предыдущем этапе, эта цель была достигнута независимо друг от друга двумя логиками — С.

Третий этап в развитии табличного метода состоял в использовании его в различных системах неклассических логик. Ведущая роль табличного метода доказательства в развитии теории логического вывода обусловлена уникальными особенностями данного метода — оптимальной структурой, а также созданием нового семантического направления развития теории логического вывода, учитывающего потребности современных неклассических логик и логик автоматического вывода.

В теории табличного метода доказательства произошло объединение двух путей развития теории логического вывода — синтаксического и семантического, которое не только изменило весь дальнейший ход развития методов логического вывода в XX в. Табличные методы Бета, Смаллиана, Фиттинга, Лиса и др. Таким образом, именно табличный метод показывает нам те семантические связи, которые лежат в основании логической синтаксической структуры рассматриваемой логики.

Проблема алгоритма эффективного поиска вывода относится к числу фундаментальных логико-философских вопросов. Исследование того, как он решается в определенной системе, на определенном этапе развития логики, является одновременно и существенной характеристикой соответствующих системы и этапа развития. Проблема эффективного поиска вывода является своеобразной точкой превращения логик: Материал диссертации, использованные в ходе исследования методологические подходы и полученные результаты, заключающиеся в разработке теории табличного метода доказательства, позволяет углубить и дополнить понимание специфики процесса развития теории логического вывода, что имеет как теоретическую, так и практическую значимость.

В теоретическом отношении диссертация дает историко-логический анализ табличного метода доказательства, а также является применением описанных выше методологических принципов, позволяющих рассматривать процесс преобразования современной логической традиции в ее существенных параметрах.

В практическом отношении диссертация может служить восполнению пробела в учебной литературе для студентов и аспирантов, обучающихся по философским специальностям, а также студентов математического и психологического факультетов. Содержание и выводы работы могут применяться в преподавании общих и специальных курсов по математической логике. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Так как эти правила непосредственно связаны с конструктивным значением логических связок, то когда мы используем эти правила для доказательства интуиционистских тавтологий, доказательство действительно оказывается естественным.

Трудности в доказательстве классических тавтологий в натуральных исчислениях связаны еще и с тем фактом, что формула и ее отрицание не обращаются симметрично в натуральном выводе, в то время как именно это свойство требуется от классического значения логических знаков. Для сравнения приведем пример доказательства неинтуиционистского закона де Моргана методом таблиц, заметив при этом, что табличные правила обращают формулу и ее отрицание симметрично.

Таким образом, можно сделать предварительный вывод, что табличные доказательства более естественны, чем доказательства, проведенные с помощью правил натурального вывода, так как табличные правила, в отличие от правил натурального вывода, симметрично обратимы относительно отрицания.

Однако несомненно, что симметричность табличных правил не является достаточной гарантией того, чтобы табличные правила всегда производили именно такие доказательства, которые естественны с классической точки зрения.

В свете предыдущего обсуждения становится очевидным, что решение вопроса дедуктивной эквивалентности систем натурального вывода табличным системам не будет легким по причине различного отношения к отрицанию в этих двух системах. Однако существует способ, который ведет от доказательства в натуральном выводе к соответствующим табличным доказательствам через эквивалентность обоих доказательству в секвенциальном исчислении.

Подробнее об этом можно прочесть в работе Г. Исследование натуральных исчислений приводит Г. Генцена к идее доказательства теоремы о нормальной форме, или Основной теоремы. Наиболее существенное свойство такого нормального доказательства можно выразить так: Так как натуральное исчисление оказалось непригодным для того, чтобы в подходящей форме сформулировать и доказать Основную теорему, Генцен формулирует особое — секвенциальное — исчисление. Секвенциальные исчисления впервые были рассмотрены Г.

Генценом37 наряду с натуральными исчислениями. И прежде чем непосредственно рассмотреть секвенциальное исчисление, мы сделаем несколько общих замечаний относительно отличия данного исчисления от системы натурального вывода. Секвенциальное исчисление, в отличие от системы натурального вывода, не содержит допущений, хотя сохраняет присущее натуральным исчислениям деление способов заключения на введение и удаление логических знаков. Правилам введения логических символов исчисления естественного вывода отвечают фигуры введения в сукцедент, а правилам удаления — фигуры введения в антецедент.

Аналогично выводу в натуральном исчислении, в секвенциальном исчислении используется представление вывода в виде дерева, но здесь при движении вниз по дереву переходят не от формулы к формуле, а от выводимости к выводимости. Можно сказать, что доказательство в исчислении секвенций предписывает в некоторой степени определенный порядок построения соответствующего натурального вывода. Этот порядок часто не релевантен и только частично отражается в соответствующем натуральном выводе. Если входит в левую часть интуиционистской таблицы, то пишем А в правой части этой таблицы, если в правой части уже нет формулы, к которой еще необходимо применять правила.

Несмотря на большую схожесть таблиц-доказательств, построенных Земаном, и таблиц Бета практически все правила обеих таблиц аналогичны, существует различие, которое заключается в том, что таблицы-доказательства основываются на обратимости правил в секвенциальных исчислениях, а таблицы Бета непосредственно связаны с понятием логического следования.

Итак, подводя итог вышесказанному, важно отметить следующие наиболее существенные свойства секвенциальных исчислений. Во-первых, как и натуральные исчисления, они дают точный анализ логических связок, проясняя, каким образом каждая связка может быть введена в антецедент или в сукцедент секвенции. В натуральном исчислении для каждого логического знака существуют правила введения и удаления, в секвенциальном исчислении существуют только правила введения, а правила удаления принимают форму введения в антецедент.

Генцен по-видимому не уделял этому особого внимания и рассматривал различия между двумя формулировками с чисто технической стороны. Во-вторых, их форма подтверждает истинность Основной теоремы: В обратимых секвенциальных исчислениях для любого правила вывода секвенция-заключение выводима только в том случае, если выводимы секвенции-посылки.

При этом, переходя от секвенции А, вывод которой мы хотим получить, к секвенциям или секвенции , из которых А является выводимой по одному из правил, можно быть абсолютно уверенным в том, что в процессе вывода ничего не потеряно и мы не пользуемся такими секвенциями, которые в данном исчислении не являются выводимыми. Системы такого типа предполагают также интересную семантическую интерпретацию, непосредственно связанную с методом семантических таблиц Бета.

Несомненно, секвенциальные исчисления являются одним из самых эффективных методов доказательства, но при этом они обладают одним существенным недостатком. Если формула появляется на каком-то шаге доказательства, то она уже не исчезает и должна многократно переписываться на каждом шаге доказательства или как подформула, или как параметрическая формула.

В заключении рассмотрим, какими же преимуществами обладает табличный метод по сравнению с другими методами доказательств — аксиоматическим, натуральным и секвенциальным. Так как правила построения табличного вывода соответствуют структуре обычных содержательных рассуждений, то выводы, полученные методом таблиц, оказываются более естественными, чем, например, выводы в рамках аксиоматического метода.

Табличный вывод, так же как и секвенциальный, обладает свойством пбдформульности. В процессе вывода исходная формула разбивается на свои подформулы. Таким образом, в построении вывода с помощью табличного метода не участвуют более сложные формулы, чем исходная доказываемая , и каждый шаг построения вывода детерминирован конечным числом альтернатив дальнейших логических шагов.

Если мы систематически применяем все правила построения табличного доказательства и при этом доказательство существует, то очевидно, что оно обязательно будет найдено. Но если доказательство не существует, тогда процесс построения вывода может никогда не закончиться. В таком случае табличный метод дает нам полуразрешающую процедуру. На протяжении нашего исследования сравним табличный метод с такими общеизвестными методами доказательств, как аксиоматический, натуральный, секвенциальный в классической и неклассических логиках.

Функции независимы между собой. Если решена задача a ZD b, то не всегда мы имеем решение задачи -па v b. В дальнейшем идеи Гейтинга-Колмогорова были развиты С. Клини, в концепции рекурсивной реализуемости. Первые исчисления интуиционистской логики были рассмотрены в работах В. Данные исчисления еще не содержали четкого конструктивного понимания математических суждений, поэтому позже, как отмечает Н.

В СССР исследования в области конструктивной математики и логики начали успешно развиваться в середине х годов XX столетия. Широко известны работы П. В дальнейшем, уже в е годы, практически все математики, работающие в области теории доказательств, так или иначе были связаны с конструктивизмом. Отметим сначала лишь вкратце в дальнейшем рассмотрим более детально некоторые важные результаты, полученные в области конструктивной математической логики.

Конструктивное исчисление с сильным отрицанием и алгоритм выводимости для формул данного исчисления были предложены Н. Оревков9 доказали, что проблема выводимости неразрешима в конструктивном исчислении предикатов без функциональных знаков для класса формул, содержащих только одну одноместную предикатную переменную.

Конструктивное исчисление предикатов с обратимыми правилами вывода, предложенное Р. Плюшкявичюсом11, с точки зрения поиска вывода оказалось значительно более эффективным, чем остальные интуиционистские системы генценовского типа Gi, G3. Обратимый секвенциальный вариант конструктивного исчисления предикатов с функциональными знаками и равенством предложил СЮ.

Так, система Рн, предложенная Гильбертом, представляет в удобной форме связь между полным аксиоматическим пропозициональным исчислением и интуиционистским пропозициональным исчислением.

Таким образом, добавив к позитивному пропозициональному исчислению Гильберта Рр более слабую аксиому или аксиомы, содержащие отрицание, получаем формулировку интуиционистского пропозиционального исчисления Гейтинга. Следующая аксиоматическая формулировка, назовем ее Pls следуя А. Черчу1 , интуиционистского пропозиционального исчисления принадлежит Г. Исчисление Pls имеет два правила вывода — modus ponens и правило подстановки.

Аксиоматическая формулировка минимального пропозиционального исчисления А. Иогансона, назовем ее Р"о следуя Черчу, может быть получена из исчисления Pls заменой двух последних аксиом следующей: Аксиоматическая формулировка интуиционистского пропозиционального исчисления, предложенная М.

Причиной этого является невыводимость соответствующих теорем о выразимости одних связок через другие без закона исключенного третьего. Поэтому набор связок и логических констант, используемых в конструктивном исчислении, будет значительно расширен. Отношение между сверхсеквенциями, выводимыми в 2 и секвенциями, выводимыми в конструктивном исчислении G3, определяется следующим образом.

Односукцедентная сверхсеквенция выводима в Q тогда и только тогда, когда хотя бы одна из сопряженных с ней секвенций выводима в G Следовательно, секвенция в сукцеденте которой не более одной формулы, выводима в Q тогда и только тогда, когда она выводима в Gs.

Если внимательно рассмотреть процесс поиска вывода в исчислении Q, то можно прийти к заключению, что он представляет собой лишь одновременное развитие процессов поиска вывода, происходящих в необратимом варианте конструктивного секвенциального исчисления.

Однако как отмечает СЮ. С точки зрения эффективности поиска вывода равную позицию с обратимыми вариантами выводов занимают несократимые выводы. Подробное описание алгоритма поиска данного вывода для соответствующего конструктивного исчисления было рассмотрено Н.

Суть данного метода заключается в следующем. Выводом в заключениях называется система заключений К рассматриваемая вместе с допустимыми схемами вида однозначно поставленными в соответствие к, каждому заключению, отличному от исходного.

Таким образом, вывод в заключениях состоит из заключений и соответствующих им схем. Таким образом, вывод, содержащий систему заключений и соответствующие им схемы, называется несократимым, если любая подпоследовательность системы заключений вместе с соответствующими схемами не является выводом заключения Кк.

Первые теоретико-доказательные исследования в области интуиционистской логики А. Колмогорова затрагивали только синтаксис интуиционистской логики, не касаясь ее семантики. Семантическую модель для интуиционистской логики впервые предложил Э. Ему же принадлежит и первая табличная система интуиционисткой логики. Бет предложил ее в форме секвенциального исчисления, в котором, в отличие от секвенциального исчисления LJ Генцена, в сукцеденте секвенции может встречаться более одной формулы.

Тогда модель М будет контрмоделью для секвенции Am- Bi, Z? Табличная система Бета непосредственно связана с интуиционистской системой Gz Клини и системой Гейтинга.

Бет предложил также конструктивное доказательство эквивалентности его системы системе Генцена и доказал разрешимость и полноту интуиционистской табличной системы на основе семантического анализа. Исходя из того факта, что табличное построение интуиционисткои логики Бета является весьма громоздким и трудным для рассмотрения, мы предлагаем более простой вариант этой системы, отличающийся техническими деталями.

Рассмотрим модификацию табличной системы интуиционистской логики Бета — систему LB. Синтаксис системы LB отличается от Ы тем, что LB оперирует с секвенциями, у которых в сукцеденте может быть более одной формулы. Заметим также, что поскольку система может содержать более одной формулы в сукцеденте, то возможны правила утончения и сокращения справа и слева. Генценовские методы в логике Мухачев, Виктор Павлович. Становление формальных методов в логике отношений Маков Борис Васильевич.

Сравнительный анализ методов античной, средневековой и классической индуктивной логики Иванова Ирина Ивановна. Бикомпонентная семантика и интенсиональная логика проблемы логики смысла и денотата Микиртумов, Иван Борисович.

Биокомпонентная семантика и интенсиональная логика проблемы логики смысла и денотата Микиртумов, Иван Борисович. Логическое следование и интуиционизм проблема релевантизации интуиционистской логики Шрамко, Ярослав Владиславович.

Релевантная логика и социология:

© Крушина - дерево хрупкое Валентин Сафонов 2018. Powered by WordPress